$\mathbb{R}^2$ から $m$ 点を除いた空間の一次ド・ラームコホモロジー

　ベクトル空間 $Z^1(U),B^1(U)$ を次で定める。 $$Z^1(U) = \{\omega = fdx + gdy\mid f,g\in C^{\infty}(U), d\omega = 0\} , \ B^1(U) = \{dh \mid h \in C^{\infty}(U)\}$$ $\varepsilon$ を $\varepsilon < \min\{d(\textbf{x}_i, \textbf{x}_j)\mid 1 \leq i < j \leq m)\}$ なる正の実数とし、$\mathbb{R}^2$ 内の $\textbf{x}_i$ を中心とする半径 $\varepsilon$ の正の向きの円周を $C_i$ と表記する。このとき、各 $C_i$ は $\mathbf{x}_1, \cdots,\mathbf{x}_m$ のうちちょうど $\textbf{x}_i$ のみを含む。 線形写像 $\Phi : Z^1(U) \to \mathbb{R}^m$ を $$\Phi(\omega) = \left(\int_{C_1}\omega, \int_{C_2}\omega, \cdots, \int_{C_m}\omega\right)$$ と定めれば、$\Phi$ は全射準同型である。以下、全射性を示す。

全射性

　$f,g \in C^{\infty}(U)$ を $$f_i = \frac{-(y-y_i)}{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2}, \ g_i = \frac{x-x_i}{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2}$$ で定めれば、$\omega_i = f_idx + g_idy$ は $d\omega_i = 0$ を満たす。また、簡単な計算により $$\int_{C_i}\omega_i = 2\pi$$ を得る。 一方、$j \not = i$ について、$\omega_i$ は $\mathbb{R}^2 \setminus \{\textbf{x}_i\}$ ではなめらかであるから、$D_j$ を $C_j$ の内部及び周として、ストークスの定理より $$\int_{C_j}\omega_i = \int_{D_j} d\omega_i = 0 $$ を得る。以上より、$(a_1,\cdots,a_m) \in \mathbb{R}^m$ に対して、 $\displaystyle \omega = \sum_{i=1}^{m} \frac{a_i}{2\pi}\omega_i$ とすれば、 $$\Phi(\omega) = \left(\int_{C_1}\omega, \int_{C_2}\omega, \cdots, \int_{C_m}\omega\right) = \left(\sum_{i=1}^{m} \frac{a_i}{2\pi} \cdot 2\pi\delta_{1i}, \cdots, \sum_{i=1}^{m} \frac{a_i}{2\pi} \cdot 2\pi\delta_{mi}\right) = \left(a_1,\cdots,a_m\right)$$ となるから、$\Phi$ は全射である。

核の計算

　これより、$\Phi$ は全射準同型であるから、準同型定理から、$Z^1(U)/\text{Ker}(\Phi) \cong \mathbb{R}^m$ である。$\text{Ker}(\Phi) = B^1(U)$ を示す。 任意の関数 \(h\in C^\infty(U)\) に対して \(\omega = dh\) とすると、任意の閉曲線 \(C\subset U\) に対して \[ \int_C \omega = \int_C dh = 0 \] である。したがって \(\Phi(dh)=0\) となり、 $ B^1(U)\subset \ker\Phi $ が成り立つ。以後、\(\ker\Phi\subset B^1(U)\)を示す。 任意に \(\omega\in Z^1(U)\) で \(\Phi(\omega)=0\) と仮定する。すなわち、各 \(i\) について \[ \int_{C_i}\omega = 0 \] が成り立つ。これから \(\omega\) がある滑らかな関数の全微分であることを示す。 任意の滑らかな閉曲線 \(C\subset U\) に対して、\(C\) が囲む\(\{\mathbf{x}_{1},\dots,\mathbf{x}_{m}\}\) の集合を \(\{\mathbf{x}_{i_1},\dots,\mathbf{x}_{i_k}\}\) とすると、 \[ \int_C \omega = \sum_{j=1}^k \int_{C_{i_j}}\omega \] が成り立つ。右辺の符号は曲線の向きの取り方に一致させる。 実際、\(C\) の内部に含まれる各 \(\mathbf{x}_{i_j}\) の周りに互いに交わらない小円 \(\tilde C_{i_j}\) を取り、\(C\) の内部からこれらの小円の内部を穴として取り除くと、得られる領域 \(D\) は \(\omega\) が滑らかな領域上で定義される有界領域となる。ストークスの定理を \(D\) と \(\omega\) に適用すると、境界上の積分の和はゼロであり、境界は \(C\) と各 \(-\tilde C_{i_j}\) の和であるから上の関係式が得られる。 いま、\(\Phi(\omega)=0\) の仮定と補題から、任意の閉曲線 \(C\subset U\) に対して \[ \int_C\omega=0 \] が従う。すなわち、\(\omega\) は任意の閉曲線に沿って積分すると 0 になる。

　ここで、任意に点 \(x_0\in U\) を選ぶ。任意の点 \(x\in U\) に対して、\(x_0\) から \(x\) までの滑らかな曲線 \(\alpha\) を取って \[ h(x) := \int_{x_0}^x \omega := \int_\alpha \omega \] と定める。上で任意の閉曲線の積分が 0 であることを示したので、経路依存性がないことがわかるから、写像 \(h:U\to\mathbb{R}\) は定義される。最後に、\(h\) が滑らかであり \(dh=\omega\) であることを示す。 任意の点 \(p\in U\) を取る。\(U\) は開集合であるから、\(p\) の十分小さな近傍として、 \(\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_m\) のいずれも含まない円板 \(V\subset U\) を取ることができる。 このとき \(V\) は単連結である。 \(\omega\) は \(U\) 上で定義された閉 1-形式、すなわち \(d\omega=0\) を満たすから、 特に \(V\) 上でも閉である。したがって、ポアンカレの補題より、 ある滑らかな関数 \(h_V\in C^\infty(V)\) が存在して $V$ 上で \[ dh_V=\omega\] が成り立つ。 一方、すでに定義した関数 \(h\) は、点 \(x_0\) からの線積分によって与えられている。 点 \(p\in V\) を固定し、\(x_0\) から \(p\) までの経路を \(x_0\) から \(V\) 内のある固定された点までの経路と、 その後 \(V\) 内を通る経路とに分解すると、微分積分学の基本定理（っぽいやつ...？）より \[ h(p)=h_V(p)+C \] となる定数 \(C\in\mathbb{R}\) が存在する。 この定数 \(C\) は \(p\) に依らず \(V\) 上で一定であるから、 \(h\) と \(h_V\) は \(V\) 上で定数分だけ異なる関数である。 したがって両者の微分は一致し、$V$ 上で \[ dh = dh_V = \omega\] が従う。 いま、点 \(p\in U\) は任意であったから、以上の議論は \(U\) の任意の点の近傍で成り立つ。 よって \(h\) は \(U\) 上で滑らかな関数であり、 その全微分は \[ dh=\omega \] を満たす。

結論

　以上より、準同型定理を用いることで、 $$W = Z^1(U)/B^1(U) \cong \mathbb{R}^m$$ であるから、$\dim(W) = \dim(\mathbb{R}^m) = m$ を得る。$\square$