位数5616の単純群の視覚化

　一般に、有限体 $\mathbb{F}_q$ 上の一般線型群 $\text{GL}(n,\mathbb{F}_q)$ の位数は、各列ベクトルが線型独立になる選び方を考えることで、 $$|\text{GL}(n,\mathbb{F}_q)| = (q^n - 1)(q^n - q)\cdots(q^n - q^{n-1})$$ と計算できる。いま、$n=3, q=3$ であるから、 $$|\text{GL}(3,\mathbb{F}_3)| = (3^3 - 1)(3^3 - 3)(3^3 - 3^2) = 26 \times 24 \times 18 = 11232$$ となる。準同型定理から、$|\text{Im(det)}|\cdot |\text{Ker(det)}| = |\text{GL}(3,\mathbb{F}_3)|$ であるので、 $$|\text{SL}(3,\mathbb{F}_3)| = \frac{\text{GL}(3,\mathbb{F}_3)}{|\mathbb{F}_3^\times|} = \frac{11232}{2} = 5616$$ を得る。

　射影特殊線型群 $\text{PSL}(3,\mathbb{F}_3)$ は $\text{SL}(3,\mathbb{F}_3)$ をその中心 $Z$ で割った剰余群である。行列 $A \in Z$ は任意の $B \in \text{SL}(3,\mathbb{F}_3)$ と可換（$AB=BA$）である。特に、対角成分が $1$ で $(i,j)$ 成分が $1$ である基本行列 $E_{ij}$ と可換であるという条件から、$A$ の非対角成分はすべて $0$ であり、対角成分はすべて等しいことが導かれる。すなわち、中心 $Z$ の要素はスカラー行列 $aI$ に限られる。いま行列のサイズは $n=3$ であるため、$\det(aI) = a^3 = 1$ が条件となる。しかし、$a \in \mathbb{F}_3^\times$ において乗法群の位数は $q-1=2$ であるため、方程式 $a^3=1$ の解の個数は $\gcd(3,2)=1$ 個（すなわち $a=1$ のみ）である。よって中心 $Z$ は単位行列のみからなる自明な群であり、$|Z|=1$ となる。したがって、 $$|\text{PSL}(3,\mathbb{F}_3)| = \frac{|\text{SL}(3,\mathbb{F}_3)|}{|Z|} = \frac{5616}{1} = 5616$$ が得られる。$\square$

　$\text{PSL}(3,\mathbb{F}_3)$ と同型な特殊線型群 $\text{SL}(3,\mathbb{F}_3)$ が $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_3)$ に作用することを示す。$A \in \text{SL}(3,\mathbb{F}_3)$ と $[v] \in \mathbb{P}^2(\mathbb{F}_3)$ に対し、作用を $A\cdot [v] = [Av]$ と定義する。これが代表元 $v$ の取り方によらず well-defined であることを確認する。$v \sim w$ （すなわち $v = \lambda w$）とすると、$A$ の線型性から $Av = A(\lambda w) = \lambda(Aw)$ となるため $Av \sim Aw$ であり、$[Av] = [Aw]$ が成り立つ。また、単位行列 $E$ に対して $E \cdot [v] = [Ev] = [v]$ であり、$A, B \in \text{SL}(3,\mathbb{F}_3)$ に対して $A \cdot (B \cdot [v]) = A \cdot [Bv] = [A(Bv)] = [(AB)v] = (AB) \cdot [v]$ も成り立つ。よって、これは確かに $\text{SL}(3,\mathbb{F}_3)$ の群作用である。$\square$

　$\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_3)$ の点の集合を $X$、直線の集合を $\mathcal{B}$ として、これが $2-(13, 4, 1)$ デザインの条件を満たすことを順に示す。

　(1) 点の総数 $v=13$：
　$\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_3)$ の点は、ベクトル空間 $V = \mathbb{F}_3^3$ の $1$ 次元部分空間と１対１に対応する。$V$ には $3^3 - 1 = 26$ 個の非零ベクトルが存在し、$1$ つの $1$ 次元部分空間には $3 - 1 = 2$ 個の非零ベクトルが含まれる。したがって、点の総数 $v$ は $v = \frac{3^3 - 1}{3 - 1} = \frac{26}{2} = 13$ である。

　(2) 各ブロックに含まれる点の数 $k=4$：
　$\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_3)$ の直線（ブロック）は、$V$ の $2$ 次元部分空間に対応する。$1$ つの $2$ 次元部分空間には $3^2 - 1 = 8$ 個の非零ベクトルが含まれる。これらが構成する $1$ 次元部分空間（射影平面上の点）の数は $k = \frac{3^2 - 1}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4$ 個である。よって、任意の直線はちょうど $4$ つの点を含む。

　(3) 任意の２点を含むブロックの数 $\lambda=1$（$t=2$）：
　$\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_3)$ 上の任意の異なる $2$ 点を選ぶ。これらは $V$ における異なる２つの $1$ 次元部分空間に対応し、それぞれを生成する非零ベクトル $u, w$ は線型独立である。線型代数の基本性質より、２つの線型独立なベクトル $u, w$ が生成する $2$ 次元部分空間はただ１つ存在する。この $2$ 次元部分空間は射影平面上のただ１つの直線に対応する。したがって、任意の異なる $2$ 点を通る直線はただ１つ存在し、$\lambda = 1$ となる。

　以上により、$\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_3)$ は要素数 $13$、各ブロックのサイズ $4$、任意の $2$ 要素がちょうど $1$ つのブロックに含まれる構造を持つため、$2-(13, 4, 1)$ デザインをなす。$\square$

　任意の $2-(13, 4, 1)$ デザインを $(X, \mathcal{B})$ とする。デザインの基本的な関係式 $bk = vr$ （$b$ はブロックの総数、$r$ は各点を含むブロックの数）および $r(k-1) = \lambda(v-1)$ に各パラメータを代入する。

　後者の式より $r(4-1) = 1(13-1)$ となり、$3r = 12$ すなわち $r = 4$ を得る。これを前者の式に代入すると $b \cdot 4 = 13 \cdot 4$ となり、$b = 13$ を得る。点の数 $v$ とブロックの数 $b$ が等しい（$v=b=13$）ため、このデザインは「対称デザイン」である。

　対称デザインの性質として、任意の２つの異なるブロックはちょうど $\lambda$ 個の点を共有する。いま $\lambda = 1$ であるから、「任意の異なる２点はただ１つのブロック（直線）を決定し、任意の異なる２つのブロック（直線）はただ１つの交点を持つ」ことになり、各直線上には $k=4$ 個の点が乗る。これはまさに位数 $n = k-1 = 3$ の有限射影平面の公理を満たしている。

　有限射影平面に座標系を導入すると、その座標は「平面三項環（planar ternary ring）」と呼ばれる代数系をなす。特に位数が素数 $p$（今回は $p=3$）の平面三項環は、有限体 $\mathbb{F}_p$ に同型であることが知られている。有限体上の射影平面はデザルグの定理を満たす「デザルグ的射影平面」となり、標準的な構成である $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_3)$ と同型になる。

　（※より一般に、位数 $n \le 8$ の有限射影平面の分類問題において、$n=2, 3, 4, 5, 7, 8$ の場合は同型を除いて一意であることが証明されている。）

　したがって、$2-(13, 4, 1)$ デザインは有限射影平面 $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_3)$ と同型なもの以外には存在せず、同型を除いて一意的に定まる。$\square$